MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS [922]

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM ;

Em física, o efeito Compton, ou espalhamento Compton, é o espalhamento de um fóton por uma partícula carregada, geralmente um elétron, que resulta em uma diminuição da energia (aumento do comprimento de onda) do fóton espalhado, tipicamente na faixa de raios-X ou de raios gama. Como a relação de dispersão para partícula livre exibe dependência com o quadrado de seu momento, E = P²/(2m), ao passo que a relação de dispersão para fótons é linear em relação ao momento, E=P C, a conservação simultânea do momento e da energia é praticamente inviável na interação com partícula livre, onde as referidas leis de conservação implicam a emissão de um segundo fóton a fim de serem satisfeitas.

Foi proposto por Compton após ter feito um procedimento experimental onde fez com que um feixe de raio X de comprimento de onda λ incidisse sobre um alvo de grafite, e com isso a intensidade dos raios X espalhados foi medida como função do seu comprimento de onda em vários ângulos de espalhamento. Como resultado desses espalhamentos observou a presença de raios X de comprimento de onda maior ou igual a radiação incidente λ e também que diferentes ângulos de espalhamento correspondem a diferentes valores de λ. ^[1]

Em materiais cristalinos um fônon pode tomar parte no processo ao invés de um fóton. Considerando-se o momento cristalino da partícula, a absorção completa do fóton torna-se viável, sendo importante em espectroscopia de fotoelétrons.

Há também o espalhamento Compton inverso, processo onde o fóton ganha energia pela interação com a matéria. A variação total no comprimento de onda, positivo ou negativo, é denominada variação Compton.

O Efeito Compton foi observado por Arthur Holly Compton em 1923, e posteriormente verificado por seu aluno Y. H. Woo nos anos seguintes.^[2] Compton ganhou o prêmio Nobel de Física em 1927 pela descoberta.^[3]

O efeito é importante por mostrar que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O Espalhamento Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não poderia explicar uma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se fosse constituída de partículas para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momento e a energia totais do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de baixa energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, junto ao efeito Fotoelétrico.

Fórmula da variação de Compton[editar | editar código-fonte]

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz^[4].

Luz como uma partícula;
Dinâmica Relativística;
Trigonometria.

O resultado final nos dá a equação do espalhamento de Compton:

\lambda -\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Onde:

\lambda _{0}

é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

\lambda

é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

{\frac {h}{m_{e}c}}

é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é $2,43\times 10^{-12}m$ .

Dedução[editar | editar código-fonte]

A partir da conservação da energia, temos:

E_{0\gamma }+E_{0e}=E_{\gamma }+E_{e}\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Onde $E_{0\gamma }$ é a energia do fóton antes da colisão e $E_{0e}$ é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso. As variáveis sem o subíndice 0 indicam as energias depois da colisão.

Desse modo, Compton postulou que os fótons carregam o momento; portanto, a partir da conservação do momento, o momento das partículas deve ser similarmente relacionado por

{\vec {p}}_{0\gamma }+{\vec {p}}_{0e}={\vec {p}}_{\gamma }+{\vec {p}}_{e}

onde $E=hf=pc$ . / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

E assumindo que o elétron está inicialmente em repouso ${\vec {p}}_{0e}={\vec {0}}$ .

{\vec {p}}_{e}={\vec {p}}_{0\gamma }-{\vec {p}}_{\gamma }

{{\vec {p}}_{e}}^{2}={({\vec {p}}_{0\gamma }-{\vec {p}}_{\gamma })}^{2}

{{\vec {p}}_{e}}^{2}={{\vec {p}}_{0\gamma }}^{2}-2({\vec {p}}_{0\gamma }\cdot {\vec {p}}_{\gamma })+{{\vec {p}}_{\gamma }}^{2}

{\vec {p}}_{e}\cdot {\vec {p}}_{e}={\vec {p}}_{0\gamma }\cdot {\vec {p}}_{0\gamma }-2({\vec {p}}_{0\gamma }\cdot {\vec {p}}_{\gamma })+{\vec {p}}_{\gamma }\cdot {\vec {p}}_{\gamma }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Sabendo que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao módulo ao quadrado, temos a seguinte expressão

{p_{e}}^{2}={p_{0\gamma }}^{2}-2(p_{0\gamma }p_{\gamma }\cos \theta )+{p_{\gamma }}^{2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

O termo $\cos \theta$ aparece porque o momento está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto dos módulos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo $p_{0\gamma }$ por ${\frac {hf_{0}}{c}}$ e $p_{\gamma }$ por ${\frac {hf}{c}}$ , nós obtemos

{p_{e}}^{2}={\frac {h^{2}f_{0}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}f_{0}f\cos {\theta }}{c^{2}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Agora nós completamos a parte da energia:

E_{0\gamma }+E_{0e}=E_{\gamma }+E_{e}

hf_{0}+m_{e}c^{2}=hf+{\sqrt {p_{e}^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Podemos isolar o $p_{e}$

(hf_{0}+m_{e}c^{2}-hf)^{2}=p_{e}^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}

p_{e}^{2}={\frac {(hf_{0}+m_{e}c^{2}-hf)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}{c^{2}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Então nós temos duas equações para o $p_{e}^{2}$ , podemos igualar as duas

{\frac {(hf_{0}+m_{e}c^{2}-hf)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}{c^{2}}}={\frac {h^{2}f_{0}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}f_{0}f\cos {\theta }}{c^{2}}}

Podemos multiplicar os dois lados da equação por $c^{2}$

(hf_{0}+m_{e}c^{2}-hf)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}=h^{2}f_{0}^{2}+h^{2}f^{2}-2h^{2}f_{0}f\cos {\theta }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Agora simplificamos a expressão

h^{2}f_{0}^{2}+h^{2}f^{2}-2h^{2}f_{0}f+2h(f_{0}-f)m_{e}c^{2}=h^{2}f_{0}^{2}+h^{2}f^{2}-2h^{2}f_{0}f\cos {\theta }

-2h^{2}f_{0}f+2h(f_{0}-f)m_{e}c^{2}=-2h^{2}f_{0}f\cos {\theta }\,

hf_{0}f-(f_{0}-f)m_{e}c^{2}=hf_{0}f\cos {\theta }\,

hf_{0}f(1-\cos {\theta })=(f_{0}-f)m_{e}c^{2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Sabendo que ${\textstyle f=c/\lambda }$ , substituímos na equação anterior

h{\frac {c}{\lambda }}{\frac {c}{\lambda _{0}}}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c}{\lambda _{0}}}-{\frac {c}{\lambda }}\right)m_{e}c^{2}

h{\frac {c}{\lambda }}{\frac {c}{\lambda _{0}}}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c\lambda }{\lambda _{0}\lambda }}-{\frac {c\lambda _{0}}{\lambda \lambda _{0}}}\right)m_{e}c^{2}

h(1-\cos {\theta })={\frac {\lambda }{c}}{\frac {\lambda _{0}}{c}}\left({\frac {c\lambda }{\lambda \lambda _{0}}}-{\frac {c\lambda _{0}}{\lambda _{0}\lambda }}\right)m_{e}c^{2}

h(1-\cos {\theta })=\left({\frac {\lambda }{c}}-{\frac {\lambda _{0}}{c}}\right)m_{e}c^{2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Desse modo temos o resultado desejado

\lambda -\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Dedução alternativa[editar | editar código-fonte]

Consideremos a situação ilustrada na figura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron e^- inicialmente em repouso, após a colisão, fóton e elétron são espalhados sob ângulos $\theta$ e $\phi$ respectivamente^[4].

A conservação do momento linear na direção vertical nos diz

\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Antes}}=\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad 0=-p_{e}\sin {\phi }+p_{f}\sin {\theta }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Assim

\sin {\phi }={p_{f} \over p_{e}}\sin {\theta }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

A conservação do momento linear na direção horizontal nos diz:

\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Antes}}=\underbrace {p_{e}+p_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad p_{0f}+0=p_{f}\cos {\theta }+p_{e}\cos {\phi }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

\cos {\phi }={\sqrt {1-\sin ^{2}{\phi }}}={\sqrt {{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta } \over {p_{e}}^{2}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Assim

p_{0f}=p_{f}\cos {\theta }+p_{e}{\sqrt {{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta } \over {p_{e}}^{2}}}\Rightarrow p_{0f}=p_{f}\cos {\theta }+{\sqrt {{p_{e}}^{2}-{p_{f}}^{2}\sin ^{2}{\theta }}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Sabemos que $p_{0f}={\frac {E_{0}}{c}}$ e $p_{f}={\frac {E}{c}}$ onde c é a velocidade da luz no vácuo e $E_{0}$ e $�$ são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

{\frac {E_{0}}{c}}={\frac {E}{c}}\cos {\theta }+{{\sqrt {{p_{e}}^{2}{c}^{2}-{E^{2}}\sin ^{2}{\theta }}} \over c}\Rightarrow {p_{e}}^{2}{c}^{2}={E^{2}}+{E_{0}}^{2}-2E{E}_{0}\cos {\theta }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Usaremos agora a conservação da energia

\underbrace {E_{e}+E_{0}} _{\text{Antes}}=\underbrace {E_{e}+E_{f}} _{\text{Depois}}\quad \Rightarrow \quad {m_{e}}c^{2}+E_{o}=E+{\sqrt {{m_{e}}^{2}c^{4}+{p_{e}}^{2}c^{2}}},

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Substituindo o último resultado obtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

{m_{e}}c^{2}+E_{o}=E+{\sqrt {{m_{e}}^{2}c^{4}+{E^{2}}+{E_{0}}^{2}-2E{E}_{0}\cos {\theta }}}\Rightarrow -2E{E}_{0}+2{m_{e}}c^{2}(E_{o}-E)=-2E{E}_{0}\cos {\theta },

Resolve / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

E={1 \over {(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{1 \over E_{o}}}\Rightarrow {1 \over E}={(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{1 \over E_{o}},

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Sabendo que

E=h\nu ={hc \over \lambda }

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Podemos substituir e teremos o seguinte resultado

{\lambda  \over hc}={(1-\cos {\theta }) \over {m_{e}}c^{2}}+{\lambda _{0} \over hc}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Simplificando, temos o resultado desejado

\lambda -\lambda _{0}={h \over {m_{e}}c}(1-\cos {\theta })

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

\mathbf {E}

In particle physics, the Klein–Nishina formula gives the differential cross section (i.e. the "likelihood" and angular distribution) of photons scattered from a single free electron, calculated in the lowest order of quantum electrodynamics. It was first derived in 1928 by Oskar Klein and Yoshio Nishina, constituting one of the first successful applications of the Dirac equation.^[1] The formula describes both the Thomson scattering of low energy photons (e.g. visible light) and the Compton scattering of high energy photons (e.g. x-rays and gamma-rays), showing that the total cross section and expected deflection angle decrease with increasing photon energy.

Formula[edit source]

For an incident unpolarized photon of energy $E_{\gamma }$ , the differential cross section is:^[2]

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

where

$r_{e}$ is the classical electron radius (~2.82 fm, $r_{e}^{2}$ is about 7.94 × 10⁻³⁰ m² or 79.4 mb)
$\lambda /\lambda '$ is the ratio of the wavelengths of the incident and scattered photons
$\theta$ is the scattering angle (0 for an undeflected photon).

The angular dependent photon wavelength (or energy, or frequency) ratio is

{\frac {\lambda }{\lambda '}}={\frac {E_{\gamma '}}{E_{\gamma }}}={\frac {\omega '}{\omega }}={\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

as required by the conservation of relativistic energy and momentum (see Compton scattering). The dimensionless quantity $\epsilon =E_{\gamma }/m_{e}c^{2}$ expresses the energy of the incident photon in terms of the electron rest energy (~511 keV), and may also be expressed as $\epsilon =\lambda _{c}/\lambda$ , where $\lambda _{c}=h/m_{e}c$ is the Compton wavelength of the electron (~2.42 pm). Notice that the scatter ratio $\lambda '/\lambda$ increases monotonically with the deflection angle, from $1$ (forward scattering, no energy transfer) to $1+2\epsilon$ (180 degree backscatter, maximum energy transfer).

In some cases it is convenient to express the classical electron radius in terms of the Compton wavelength: $r_{e}=\alpha {\bar {\lambda }}_{c}=\alpha \lambda _{c}/2\pi$ , where $\alpha$ is the fine structure constant (~1/137) and ${\bar {\lambda }}_{c}=\hbar /m_{e}c$ is the reduced Compton wavelength of the electron (~0.386 pm), so that the constant in the cross section may be given as:

{\frac {1}{2}}r_{e}^{2}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{c}^{2}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{c}^{2}}{8\pi ^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Polarized photons[edit source]

If the incoming photon is polarized, the scattered photon is no longer isotropic with respect to the azimuthal angle. For a linearly polarized photon scattered with a free electron at rest, the differential cross section is instead given by:

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

where $\phi$ is the azimuthal scattering angle. Note that the unpolarized differential cross section can be obtained by averaging over $\cos ^{2}(\phi )$ .

Limits[edit source]

Low energy[edit source]

For low energy photons the wavelength shift becomes negligible ( $\lambda /\lambda '\approx 1$ ) and the Klein–Nishina formula reduces to the classical Thomson expression:

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left(1+\cos ^{2}(\theta )\right)\qquad (\epsilon \ll 1)

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

which is symmetrical in the scattering angle, i.e. the photon is just as likely to scatter backwards as forwards. With increasing energy this symmetry is broken and the photon becomes more likely to scatter in the forward direction.

High energy[edit source]

For high energy photons it is useful to distinguish between small and large angle scattering. For large angles, where $\epsilon (1-\cos \theta )\gg 1$ , the scatter ratio $\lambda '/\lambda$ is large and

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {\lambda }{\lambda '}}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}\qquad (\epsilon \gg 1,\theta \gg \epsilon ^{-1/2})

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

showing that the (large angle) differential cross section is inversely proportional to the photon energy.

The differential cross section has a constant peak in the forward direction:

\left({\frac {d\sigma }{d\Omega }}\right)_{\theta =0}=r_{e}^{2}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

independent of $\epsilon$ . From the large angle analysis it follows that this peak can only extend to about $\theta _{c}\approx \epsilon ^{-1/2}$ . The forward peak is thus confined to a small solid angle of approximately $\pi \theta _{c}^{2}$ , and we may conclude that the total small angle cross section decreases with $\epsilon ^{-1}$ .